扩散模型，蒸馏，以及量化
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前因
读到朋友写的一篇博客，又想起来一两年前我的随机过程数学老师建议我去学习一下 diffusion model。现在我打算写一篇博客。由于没有正经阅读 AI 文献，以下部分有一些是 Gemini-generated，注意甄别。
几个概念
文生图模型
以扩散模型（Diffusion Models） 为核心，并结合 Transformer 增强特征提取能力的复合架构。可以拆解为三个核心组件：Autoencoder（空间压缩）、Text Encoder（语义理解）和 Denoising Backbone（去噪骨架）。
Autoencoder (VAE) 空间压缩的目标是学习两个映射函数：编码器 (Encoder) $\mathcal{E}$ 和 解码器 (Decoder) $\mathcal{D}$。
具体来说，给定一张图像 $x \in \mathbb{R}^{H \times W \times 3}$，通过编码器 $\mathcal{E}$ 可以将其转换为一个低维的潜在表示 $z = \mathcal{E}(x)$，其中 $z \in \mathbb{R}^{h \times w \times c}$，且通常 $h \ll H, w \ll W$。随后，解码器 $\mathcal{D}$ 可以用来将 $z$ 恢复回原始图像空间，即 $\mathcal{D}(z) \approx x$。
假设像素空间 $x$ 服从一个复杂的分布 $p(x)$，我们想要求潜变量的后验分布 $p(z|x)$；引入一个可计算的分布 $q_\phi(z|x)$（即编码器 $\mathcal{E}$）来逼近真实的后验分布。构造的数学目标是最小化 $q$ 与 $p$ 之间的 KL 散度。我们注意到对于一个给定的图像 $x$ 来说，$\log p(x)$ 是一个常数，满足：
$$ \begin{aligned} \log p(x) &= \mathbb{E}_q \left[ \log \frac{p(x, z)}{p(z|x)} \right]\\ &= \mathbb{E}_q \left[ \log \left( \frac{p(x, z)}{q_\phi(z|x)} \cdot \frac{q_\phi(z|x)}{p(z|x)} \right) \right]\\ &= \underbrace{\mathbb{E}_q \left[ \log \frac{p(x, z)}{q_\phi(z|x)} \right]}_{\text{ELBO}} + \underbrace{\mathbb{E}_q \left[ \log \frac{q_\phi(z|x)}{p(z|x)} \right]}_{D_{KL}(q \| p)} \end{aligned} $$$D_{KL} \geq 0$，所以第一项就是 $\log p(x)$ 的下界。我们最大化这个下界以最小化两个分布之间的 KL 散度：
$$ \begin{aligned} \text{ELBO} &= \mathbb{E}_q [\log p(x|z) + \log p(z) - \log q_\phi(z|x)]\\ &= {\mathbb{E}_q [\log p(x|z)]} - {\mathbb{E}_q \left[ \log \frac{q_\phi(z|x)}{p(z)} \right]}\\ &= \underbrace{\mathbb{E}_{q_\phi(z|x)}[\log p_\theta(x|z)]}_{\text{重建项 (Reconstruction)}} - \underbrace{D_{KL}(q_\phi(z|x) \| p(z))}_{\text{正则项 (Regularization)}} \end{aligned} $$反向传播要求损失函数对参数 $\phi$ 是可导的。编码器输出分布参数（比如均值 $\mu$ 和方差 $\sigma$）。$x \to \text{Encoder}(\phi) \to \text{Dist}(\mu, \sigma) \xrightarrow{\text{sampling}} z \to \text{Decoder} \to \text{Loss}$。
然而在计算 $\partial \text{Loss}/\partial \phi$ 时，梯度必须流经 $z$ 到达 $\phi$。但 $z$ 是采样得到的，因而是不可导的。就像掷骰子的结果（$z$）和骰子（分布）的参数（$\mu, \sigma$）之间的数学关系是断裂的。无法写出一个确定性的函数 $f(\mu, \sigma)$ 来表示这个采样过程的导数。
解决办法是从标准正态分布中采样一个噪声 $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, 1)$。对于参数 $\phi$ 来说，$z$ 的表达式现在是完全可微的，而且还保持了分布
$$z = \mu + \sigma \odot \epsilon\sim \mathcal{N(\mu,\epsilon)}, \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$$其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 是编码器 $\mathcal{E}$ 输出的两个向量。这样，随机性被转移到了 $\epsilon$ 上，而对 $\mu$ 和 $\sigma$ 的梯度可以顺畅地流回编码器。这个技巧叫做重参数化。
这样一来，diffusion 就不再直接作用于像素空间 $x$，而是在潜在特征空间 $z$ 上进行，从而大幅减少了计算开销。
Text Encoder 文本编码器是一个将离散文本转为连续向量空间的映射 $c = \tau_\theta(y)$。定义：给定提示词（Prompt）$y$，编码器 $\tau_\theta$（如 CLIP 或 T5）将其转换为条件向量 $c$。数学意义：$c$ 通常是一个序列向量 $\in \mathbb{R}^{L \times d}$，其中 $L$ 是 Token 长度，$d$ 是特征维度。为生图提供语义指导。
去噪骨架是扩散模型的核心，数学上表现为一个噪声预测算子 $\epsilon_\theta$。在训练阶段，我们要最小化以下目标函数：
$$\mathcal{L} = \mathbb{E}_{z, \epsilon \sim \mathcal{N}(0,1), t, c} \left[ \| \epsilon - \epsilon_\theta(z_t, t, c) \|^2_2 \right]$$变量含义：$z_t$：在 $t$ 时刻加噪后的潜变量。$c$：来自文本编码器的条件向量。$\epsilon_\theta$：神经网络（U-Net 或 Transformer），它学习预测注入到 $z$ 中的噪声 $\epsilon$。
这里 Gemini 给出了 “$t$ 代表噪声强度”的论述。在我的追问下，它给出如下说明：通常定义一系列随时间 $t$ 变化的参数，通常记作 $\alpha_t$。$\alpha_0\sim 1,\alpha_T\sim 0$。参数化：
其中 $\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{I})$，开根号是为了保持新分布的方差不变。
我的理解方式是，噪声是随机的，但去噪声的过程和 $c$ 有关，因而不是纯随机的，相当于带有一个 Guidance 的随机演化。